Abstract
Die Anwendung des Operatorenkalküls im Sinne von Mikusinski 1 in der Baustatik wurde bereits in 2 bis 8 in breiter Form gezeigt. Hierbei ist eine Entwicklung möglich, die selbst dem Computer etwas voraus hat, da die Lösungen von Anfangs- und Randwertproblemen ganz einfach kalkülmäßig und symbolisch gegeben sind. Für die Rechenoperationen Differentiation und Integration sowie Differenzenbildung und Summieren treten algebraische Verknüpfungen in Form von abstrakten Zahlen ein. Als Nebenprodukt dieser Operatorenrechnung werden sowohl stetige als auch diskrete Funktionen durch einfache Ausdrücke gekennzeichnet.
Abgesetzte und insbesondere unterbrochene oder abgestufte Funktionen konnten bislang nur mit Hilfe der „Fourier-Analyse“ beschrieben werden. Eine Symbolik wäre das Gegenstück dazu. Der Versuch, diese Symbolik als ''Fantappie- Analyse"
einzuführen (s. 22), hat ohne die Hilfeleistung der Computertechnik heute kaum eine Aussicht auf großen Erfolg. Nicht so das Kalkül von Mikusinski, das mehr als nur eine neue Darstellung der Funktionen bedeutet: es ist formal identisch mit der Laplace-Transformation, die selbst die Fourier-Transformation beinhaltet.
Der Unterschied ist dennoch grundsätzlicher Natur: Laplace - bedeutet Funktionentheorie und Existenzbeweise. Mikusinski - nullteilerfreie Algebra und Mengenlehre. Auch ist die Theorie von Mikusinski allgemeiner und einfacher als die auf der Laplace - Transformation beruhende Darstellung wegen der Eindeutigkeitssätze einer gesuchten Funktion im Unendlichen.
Im Vergleich mit der Theorie von Fantappie oder Schwartz 31, 47 braucht sie nicht den großen topelegischen und funktionalanalytischen Aufwand. Die Erweiterung des Begriffs der natürlichen Zahl en zu den rationalen und den reellen Zahlen ist ein Modell für die Methode von Mikusinski. Kurz gesagt: die stetigen Funktionen einer reellen Variablen x, x ~ 0, bilden bei der gewöhnlichen Addition und der Faltung als Multiplikation eine kommutative Algebra, die zu einem Quotientenkörper K erweitert werden kann (da diese Algebra Nullteiler-frei ist), dessen Elemente dann Operatoren genannt werden. Dieser Operatorenkörper K enthält die komplexen Zahlen, die stetigen Funktionen, den Differential- und Integraloperator. Der Dirac-Delta-Operator ist das Einheitselement des Körpers K. Einzelkräfte und Einzelmomente lassen sich in der Baustatik nicht durch gewöhnliche Funktionen wiedergeben, können jedoch durch Operatoren dargestellt werden. In dieser Arbeit wird die Methode von Mikusinski auf lineare Differential- und Integralgleichungen vom Faltungstypus, sowie auf partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten angewandt.
Links and resources
Tags
community
